Парадоксы в Теории Вероятностей

   Привет всем однофорумчанам!

   Все мы играем в покер, поэтому все должны быть знакомы с Теорией Вероятностей. Конечно, играя в наши приватники, понимаешь, что, к сожалению, считанные единицы утруждают себя подсчётом шансов банка и шансов на победу. Тем не менее, надеюсь, что моя статья будет интересна многим.

   На самом деле подсчёт шансов - это самая простая задача, ответ на которую даёт Теория Вероятностей. А сама эта наука, вернее раздел математики, намного интереснее и многограннее.

   Когда-то давно, ещё в юности, я учился в военном артиллерийском училище. Вся теория стрельбы и управления огнём целиком и полностью построена на Теории Вероятностей. Поэтому этот предмет нам преподавали в довольно большом объёме. И преподавателем был очень толковый дядька. Было видно, что ему самому очень интересен его предмет, и нас он сумел заразить этим интересом. Больше всего мне запомнились парадоксы Теории Вероятностей. Именно с ними я и хочу вас познакомить.

   Предвижу, что один из первых комментариев будет содержать следующий софизм: "Какова вероятность, что, выйдя на улицу, вы встретите динозавра? Пятьдесят на пятьдесят. Либо встречу, либо не встречу". Это слишком банально. Я же хочу предложить вам кое-что более интересное.

  
   Теория вероятностей представляет собой область математики, необычайно богатую парадоксами - истинами, настолько противоречащими здравому смыслу, что поверить в них трудно даже после того, как правильность их подтверждена доказательством. На самом деле в математике нет другого такого раздела науки, в котором так же легко совершить ошибку. Даже само высказывание "вычислить вероятность" содержит парадокс. Ведь вероятность, в противоположность достоверности, есть то, чего не знают. Как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний?
  
   Один из самых ярких и неожиданных парадоксов  - это так называемый
  
   "Парадокс дней рождения"

   Как вы думаете, сколько людей должно быть в определённой группе, чтобы по крайней у двоих из них дни рождения совпадали с вероятностью 100% (имеется в виду день и месяц без учёта года рождения)? Здесь и дальше имеется в виду не високосный год, т.е. год, в котором 365 дней. Ответ очевиден - в группе должно быть 366 человек. Теперь другой  вопрос: сколько должно быть человек, чтобы нашлась пара с совпадающим днем рождения с вероятностью 99,9%?

   На первый взгляд всё просто - 364 человека. На самом деле достаточно 68 человек! Я не буду приводить здесь расчёты - поверьте, что это так. То, что казалось практически очевидным, на самом деле очень далеко от истины.
  
   "Парадокс раздела ставки"

  Предположим, что вы играете СНГ хэдз-ап с равным вам по силе соперником, т.е. с равными шансами. Вы договорились играть до шести побед. Тот, кто первым выиграет шесть СНГ, получает, скажем, 80 денег. Но по каким-то независимым от вас причинам, вам не удалось доиграть, и вы закончили игру при счёте 5:3 в вашу пользу. Теперь вам нужно честно разделить призовые 80 денег.

   Что первое приходит в голову? Поскольку вы сыграли 8 игр, а денег 80, то кажется логичным разделить их 50 на 30. Но это неправильно. Вам для победы не хватило одного выигрыша, в то время, как вашему сопернику нужно было выиграть 3 следующие игры. Вероятность этого 0,5х0,5х0,5=0,125, т.е. 12,5%. Во всех остальных 87,5% случаев победите вы. Следовательно, ваши шансы 87,5 к 12,5, или 7 к 1. Именно так и должны быть поделены призовые: вам 70 денег, вашему сопернику - 10.

   "Парадокс игры с неравносильными противниками"

   Вы - крепкий регуляр СНГ ХА своего лимита. Вам предлагают хороший приз, если вы выиграете подряд по крайней мере два СНГ из трёх против равного вам по силе регуляра и против, скажем, Фила Айви (или любого другого профи, который заведомо сильнее вас). Вы можете выбрать схему игры: профи - регуляр - профи или регуляр - профи - регуляр. Какую схему вам лучше выбрать?

   На первый взгляд кажется, что второй вариант для вас предпочтительнее, так как в этом случае вы дважды играете с более слабым соперником. Однако, при этом вам обязательно с одной попытки придется обыгрывать профи, иначе у вас не будет двух побед подряд. На самом деле, оказывается, что вероятность победить по схеме профи - регуляр - профи выше.  Если вы выигрываете у профи с вероятностью p и с вероятностью q - у регуляра, то p<q, т.к. профи играет лучше регуляра. Выбрав первый вариант, вы должны выиграть либо первый и второй матчи (вероятность этого pq), либо второй и третий матчи (вероятность этого qp). Т.О., вероятность того, что произойдёт одно из этих событий, равна pq+qp-pqp (pqp необходимо вычесть, иначе дважды учитывается вероятность вашего выигрыша в трёх матчах). Аналогично, если вы выбираете второй вариант, то вероятность того, что вы победите 2 раза подряд, равна qp+pq-qpq. Поскольку p<q, получаем pq+qp-pqp<qp+pq-qpq, откуда следует, что вам лучше выбрать вариант профи - регуляр - профи.

   "Петербургский парадокс"

  
   Этот парадокс считается самым знаменитым. Предположим, что некто бросает монету и согласен уплатить вам доллар, если выпадет орел. В случае же выпадения решки он бросает монету второй раз и платит вам два доллара, если при втором подбрасывании выпадет орел. Если же снова выпадет решка, он бросает монету в третий раз и платит вам четыре доллара, если при третьем подбрасывании выпадает орел. Короче говоря, с каждым разом он удваивает выплачиваемую сумму. Бросать монету некто продолжает до тех пор, пока вы не остановите игру и не предложите расплатиться. Какую сумму вы должны заплатить, чтобы некто согласился играть с вами в эту "одностороннюю игру", а вы не остались в убытке?

   В ответ трудно поверить: сколько бы вы ни платили за каждую партию, пусть даже по миллиону долларов, вы все равно сможете с лихвой окупить свои расходы. В каждой отдельно взятой партии вероятность того, что вы выиграете один доллар, равна 1/2, вероятность выиграть два доллара равна 1/4, четыре доллара — 1/8 и т.д. В итоге вы можете рассчитывать на выигрыш в сумме (1 x 1/2) + (2 x 1/4) + (4 x 1/8) … Этот бесконечный ряд расходится: его сумма равна бесконечности. Следовательно, независимо от того, какую сумму вы будете выплачивать перед каждой партией, проведя достаточно длинный матч, вы непременно окажетесь в выигрыше. Делая такое заключение, мы предполагаем, что капитал банка неограничен и мы можем проводить любое число партий. Разумеется, если вы заплатили за право сыграть одну партию, например 1000 долларов, то с весьма высокой вероятностью вы эту партию проиграете, но ожидание проигрыша с лихвой компенсируется шансом, хотя и небольшим, выиграть астрономическую сумму при выпадении длинной серии из одних лишь орлов. Петербургский парадокс возникает в любой азартной игре с удваивающимися ставками.


   Этот парадокс используют при игре в рулетку. Нужно ставить всё время на один цвет и удваивать ставку в случае проигрыша. Также можно использовать его при игре в СНГ ДоН или ХА. Принцип тот же - если вы проиграли, начинайте следующий турнир, но уже со взносом в 2 раза больше. Главное, чтобы вам хватило вашего банкролла на серию неудач.

   "Парадокс Монти Холла" или "Дилемма игрока"


   Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей (один из чёрных ящиков, одну из карт и т.п.). За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козлы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козлы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится козёл. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

   Хорошо подумали? Каков же Ваш ответ? Я добросовестно спрашивал у многих своих знакомых - и ни один(!) не изменил свой выбор. И очень зря! На первый взгляд, при первом выборе вероятность попасть в цель 1/3, а при втором среди оставшихся дверей - 1/2, так что выбор можно делать произвольно. На самом деле, когда вы делаете первый выбор, вероятность не попасть в цель 2/3, то есть вдвое выше. А потом ничего не меняется, только ведущий нам помогает и открывет лишнюю дверь. А это значит, что автомобиль находится за выбранной дверью с вероятностью все еще 1/3, а в последнем из двух невыбранных - все еще 2/3.

   Трудно поверить, не так ли? Попробуйте провести 50 или 100 подобных опытов - вы будете поражены результатом. Для особо неверующих можно немного подсправить условия задачи: Изначально существует тысяча дверей, и только за одной дверью есть машина. Шанс угадать - один к тысяче. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий открывает все двери, кроме выбранной вами и ещё одной. Вы желаете изменить свой выбор? Или по-прежнему считаете, что сейчас вероятность 50/50?

   Нашёл в сети даже видео на эту тему. Посмотрите.
http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=3LyUi13SUyg

   Всего три двери, а вот уже как завернуто. А представляете, что бывает, например, в карточных играх, где в колоде 36 или даже 52 карты? Вы всё ещё хотите играть в покер, полагаясь на вашу пресловутую "чуйку"? Или всё-таки начнёте считать шансы?
  
   "Парадокс закона больших чисел Бернулли"

   Игроки часто уверены, что если правильная монета много раз падает гербом, то вероятность выпадения решки возрастает. В противном случае нарушалось бы то, что при очень большом числе бросаний выпадение герба и решки происходят приблизительно одинаково часто. Но ведь у монет, очевидно, нет памяти, поэтому они не знают, сколько раз они уже выпадали гербом или решкой. По этой причине шансы выпадения герба при каждом бросании равны 1/2, даже если монета уже выпадала гербом несколько десятков раз.

   Так что, если вы 10 раз подряд тянули флеш-дро (естественно, по шансам), но флеш так и не пришёл, не думайте, что ваши шансы собрать его теперь гораздо выше. Они по-прежнему 4:1, не больше не меньше. С другой стороны, если вы 10 подряд собирали свой флеш, не думайте, что теперь вероятность собрать его уменьшилась. Продолжайте играть по шансам, т.к. они не зависят от предыдущих результатов.

   "История про математика, проигравшего велосипед"

   Теперь немного о дисперсии. Была эта история на самом деле или нет, неизвестно, да, впрочем, и не важно. Однажды математик по профессии поспорил со случайным встречным: оппонент говорил, что следующие 100 человек, прошедшие мимо них, будут мужчинами, математик же утверждал, что этого не будет. Причем математик ставил на кон велосипед против всего 1 рубля своего оппонента.

   Логика математика была очень проста: есть всего 1 шанс из около 1267 октиллионов (октиллион - единица с 27-ю нулями), то есть, по его мнению, он ничем не рисковал. Логика оппонента была тоже по-своему безупречна: рубль - невелика потеря, а вот возможность, пусть призрачная, выиграть велосипед, того стоит. Наверняка, этот человек не брезговал лотереями и игровыми автоматами.

  
   Спор решился не в пользу математика, потому что как раз в этот момент по их улице прошел батальон солдат. Так что не стоит забывать, что кроме вероятности и достоверности, есть еще обстоятельства, имеющие привычку образовываться в неподходящий момент. Помните об этом, когда ваших карманных тузов переедут пятый раз подряд.

   Ну и напоследок

   "Парадокс двух конвертов"

   Проводится лотерея. Предлагаются два конверта, в которых находятся две суммы денег, причём в одном из конвертов сумма отличается от суммы в другом конверте ровно в два раза. Никакие действия (измерительные и т.п.) совершать с конвертами нельзя. Можно лишь открыть один любой конверт и посчитать в нем деньги, после чего сделать выбор - взять этот конверт или взять другой конверт, чтобы получить бОльшую сумму. В каждом последующем розыгрыше в конвертах находятся другие суммы, например 1 и 2, 5 и 10, 100 и 200, 560 и 1120 и т. д. в разной последовательности.

   Предположим, что мы увидели в одном из конвертов x рублей. Тогда в другом может быть 0,5x или 2x руб. Таким образом, считая, что в другом конверте равновероятно находится либо 0,5x, либо 2x, определяем средний выигрыш в случае, если мы возьмём другой конверт: (0,5x+2x)/2=1,25x рублей (соответственно, разумнее выбирать именно его, хотя мы и не знаем, больше там денег или меньше), что противоречит интуитивной симметрии задачи.

   Кстати, об этом парадоксе учёные спорят до сих пор.

   Ну вот, статья написана (уфф, неделю писал). Надеюсь, вам будет интересно её почитать и над ней поразмыслить. Не сомневаюсь и в том, что некоторые её "ниасилят" ("многа букав"), однако думаю, что таких найдётся немного. Выдвигаю эту свою статью на соискание приза в конкурсе блоггеров (естественно, в случае, если она вам понравится).

Bet365, PartyPoker